Untitled Document

- Ha összesen 20 darab négyféle színű, azonos számú golyó van a zsákban, akkor mindegyik színből 20 : 4 = 5 darab van. Becsukott szemmel legalább 11 golyót kell kivennünk, hogy biztos legyen három színből a kezünkben. Ennél kevesebb nem elég,mert kevesebb kihúzása esetén, (például 10) előfordulhat, hogy csak 2 különböző színből van mind az öt a kezünkben.
  4 + 2 pont

- A keresett háromjegyű számok a 2, 3, 4 számjegyekkel kezdődhetnek. Mindegyik mellé a második helyre három jegy kerülhet, a harmadik helyre a maradék két számjegy kerülhet, tehát a megoldások száma . Ennyi számot alkothatunk a feltételeknek megfelelően.
  2 pont
  Ezek a következők:
  213 312 412
  214 314 413
  231 321 421
  234 324 423
  241 341 431
  243 342 432 9 pont
- Minden 1-nél nagyobb páratlan szám felírható két egymást követő pozitív egész szám összegeként.
  351 = 175 + 176 3 pont

- A többi jó megoldáshoz meg kell keresnünk azokat a természetes számokat, amelyekkel maradék nélkül osztható a 351. Ezek 3, 9, 13, 27.
  3 egymást követő pozitív egész szám összegeként a következőképpen írhatjuk fel a 351-et:
  351 : 3 =117, ez lesz a középső szám: 351 = 116 +117 +118.
  3 pont, minden további megoldás 1 – 1 pont

9 egymást követő természetes szám összegeként:
351 : 9 = 39, ez lesz a középső szám és 9 tagú az összeg:
351 = 35 + 36 + 37 + 38 + 39 + 40 + 41+42 + 43
351 : 13 = 27, ez lesz ebben a z esetben a középső szám, és 13 tagú összeg:
351 = 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 2627 +28 + 29 + 30 + 31 + 32 + 33
351 : 27 = 13 most ez lenne a középső szám, de 27 tagú összeget a pozitív számok körében nem tudunk felírni.

- A következő színezési lehetőségek vannak:

Megoldásonként 1 - 1, összesen 9 pont

- A feladat szövegéből kiderül, hogy Marcinak 4-gyel kevesebb szilvája van, mint Julcsinak. Ha viszont Marci ad Julcsinak két szemet, akkor ez a különbség kétszeresére nő, azaz, 8 szemmel lesz kevesebb Marcinak, mint Julcsinak. Keressük tehát azokat a számokat, melyek összege 30-nál kisebb különbségük pedig 4, és megfelelnek a második feltételnek is. Csak egy ilyen számpár van, a 10, 14. Tehát Marcinak 10, Julcsinak 14 szem szilvája volt.
  2 + 4 pont